三角形中线的公式及推导

春秋浪人之飞鹏 1年前他留下的回答 已收到1个回答

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设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c．
1、三角形的三条中线都在三角形内.
2、三角形的三条中线长：　　._______ 　　ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ； 　　._______ 　　mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ； 　　._______ 　　mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 .　　(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心.
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
证明
　　三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.利用等量代换求解
　　给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图） 连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.　　∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.　　∴△DEC≌△PEB（SAS）.　　∴CD=BP.S△DEC=S△PEB.　　又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.　　∴EP平行且等于1/2AC.　　即EP平行且等于AF.　　∴平行四边形AEPF.（对边平行且相等的四边形为平行四边形） 　　∴AE=FP.S△EFP=S△AEF.　　这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP.　　∵BF为中线,平分△ABC面积.　　∴S△BAF=S△BFC.　　又∵EF为△BFC中线,平分△BFC面积.　　∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.　　又∵CD为△ABC中线,平分△ABC面积.　　∴S△ADC=S△BDC.　　又∵DE平分△BDC面积.　　∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.　　∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.　　∵AE为△ABC中线,平分△ABC面积.　　∴S△BAE=S△AEC.　　又∵EF平分△AEC.　　∴S△AEF=S△EFC.　　∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC 　　∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP 　　=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC 　　=3/4 S△ABC

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