（2014•南宁）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过

（2014•南宁）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求

AE

的长．
没棋走的时候 1年前他留下的回答 已收到1个回答

诏书下柴门 网友

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：82.4%

解题思路：（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，
（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，
（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出

AE

的长．

（1）BE=FH．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，
∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠HEF=∠BAE，
在△ABE和△EHF中，


∠FHE＝EBA
∠HEF＝BAE
AE＝EF，
∴△ABE≌△EHF（AAS）
∴BE=FH．

（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，
∵BC=AB，
∴BE=CH，
∴CH=FH，
∴∠HCF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=180°-∠HCF-∠ACB=90°．

（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=
2FH．
∠CFE=∠HCF-∠CEF=45°-15°=30°．
如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=[1/2]CF=

2
2FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，
∴△CPE∽△FHE．
∴[CP/FH＝
EC
EF]，即


2
2FH
FH＝
4
EF，
∴EF=4
2．
∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．
取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，
∴

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题主要考查圆的综合题，解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用．

1年前他留下的回答

4

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