求证：椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值

求证：椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值
RT,CTRL V党就别来了 xiaoyu4st 1年前他留下的回答 已收到3个回答

huixili2005 网友

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设F为焦点,L为对应的准线,AB为焦点弦.AP、BQ、FR垂直于L,垂足为P,Q,R.
由圆锥曲线的定义,AF = e * AP, BF = e * BQ.
在梯形ABQP中,已知比值AF/BF,可以求出：
FR = AF/AB * BQ + BF/AB * AP
= AF/(AF+BF) / e * BF + BF/(AF+BF) / e * AF
= 2AF*BF/(AF+BF) / e
于是2/(e*FR) = 1/AF + 1/BF
法二：利用极坐标公式：r = ep/(1-e*cosθ).
焦半径r1,r2分别对应θ,θ+pi
于是1/r1 + 1/r2 = (1-e*cosθ)/ep + (1+e*cosθ)/ep = 2/ep
p定义为焦点到准线距离,与上面一致

1年前他留下的回答

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想要的生活32 春芽

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椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
1/AF+1/BF=2/(ep)

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miniviolet 网友

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我的方法有点复杂，
设弦的方程为y=k(x-c)，然后与椭圆方程联立求解，消去y列出一个关于x的二元方程。
(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k^2cx+a^2b^2c^2-1=0
然后方程的两个解就是两个焦点的横坐标。下面不要直接解出来，会更加麻烦。
设两条焦半径长为a和b。则a=(x1-c)√（k^2+1），b=(c-x2)√（k^2+1），
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