已知函数f（x）=blnx g（x）=ax²-x （a属于R）

已知函数f（x）=blnx g（x）=ax²-x （a属于r）
当b=1时,若曲线f（x）与g（x）在公共点p处有公切线,求证p点唯一
若a＞0,b＝1,且曲线f（x）与g***存在公切线,求正实数a的最小值 太极粽师 1年前他留下的回答 已收到3个回答

whytower 网友

该名网友总共回答了23个问题，此问答他的回答如下：采纳率：91.3%

(1)设p（x,y）（x＞0） 则y=lnx且y=ax²-x ∴lnx=ax²-x
又在P处切线相同 所以斜率相同 得 1/x=2ax-1 得出a=(x+1)/2x² 带入上式得 lnx=(1-x)/2
下面证该方程只有一个实数根则P点唯一
设h(x)=lnx+x/2-1/2 ∴h(x)导数=1/x+1/2＞0 ∴h(x)在定义域上单调递增 h(1)=0 ∴h(x)有唯一零点 即原方程有唯一正实根,∴P点唯一,得证.
（2）当切点相同时,由（1）知a=1；
当切点不同时,设切线方程为y=kx+m
直线与f(x)相切,得k=1/x,从而切点横坐标x=1/k,代入f(x)得切点纵坐标y=ln(1/k),再代入直线有m=ln(1/k)-1=-lnk-1
同理,直线与g(x)相切可得x=(k+1)/2a,从而,(-k²-2k-1)/4a=-lnk-1,
∴ 4a=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0）
设F(k)=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0）,则F(k)导数=（k+1)(1+2lnk-1/k）/(1+lnk)²
又设G(k)=1+2lnk-1/k,则G(k)导数=2/k+1/k²＞0 ∴G(k)在（0,正无穷）单调递增
又G(1)=0,∴G(k)在（0,1）上＜0,在（1,正无穷）＞0 从而
F（k）在（0,1）单调递减,在（1,正无穷）单调递增,∴F(k)有最小值F(1)=4,即4a的最小值为4,∴a有最小值为1
综上 正实数a的最小值为1

1年前他留下的回答

6

不胜寒1 网友

该名网友总共回答了58个问题，此问答他的回答如下：

（1）联立两个函数可得：lnx=ax^2-x，定义域x>0
将上述方程两边分别求导可得：1/x=2ax-1
整理得：2ax^2-x-1=0，x>0
假设上述方程有两个根x1，x2，有韦达定理可得：x1+x2=1/2a，x1*x2=-1/2a
若a>0，则可得x1*x2<0，说明根一正一...

1年前他留下的回答

3

54记事本 网友

该名网友总共回答了4个问题，此问答他的回答如下：

若b=1，则f（x）=lnx 所以x＞0；因为f ‘（x）=1/x，g ’（x）=2ax；

若曲线f（x）与g（x）在公共点p处有公切线，则f ‘（x）=g ’（x）即1/x=2ax；

所以，x²=1/2a，又因为x＞0，所以x=（1/2a）开平方。因为x唯一，所以y唯一，所以p点唯一。

1年前他留下的回答

3

　　以上就是小编为大家介绍的已知函数f（x）=blnx g（x）=ax&#178;-x （a属于R） 的全部内容，如果大家还对相关的内容感兴趣，请持续关注上海建站网！