已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a的最小值．

shensf 1年前他留下的回答 已收到1个回答

ruperthuang 网友

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解题思路：由整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数，可设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数），又由（a+b）²-4ab=（a-b）²，可得（2a-m）²-4n²=m²，然后利用平方差公式分解，即可得2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，继而求得a=

(m+1)2

4

，n=

m2−1

4

，又由a≥2012，即可求得a的最小值．

设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数）．
∵（a+b）²-4ab=（a-b）²，
∴（2a-m）²-4n²=m²，
即：（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²．
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n＞2a-m-2n （m为素数），
∴2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，
解得：a=
(m+1)2
4，n=
m2−1
4，
∴b=a-m=
(m−1)2
4，
∵a≥2012，
∴
(m+1)2
4≥2012，
∵m是素数，
解得：m≥89，
此时，a≥
(89+1)2
4=2025，
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值为2025．

点评：
本题考点： 整数问题的综合运用．

考点点评： 此题考查了素数与完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是设a-b=m（m是素数），ab=n2（n是正整数），根据题意得到（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m2，继而求得a=(m+1)24，n=m2−14．

1年前他留下的回答

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