如图,抛物线M:y=x^2+bx与x轴交于O,A两点,交直线l：y=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C,

如图,抛物线M:y=x^2+bx与x轴交于O,A两点,交直线l：y=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C,
1.求证,当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上;2.求证：圆C经过除原点外的一个定点；3.是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径 ID4ty 1年前他留下的回答 已收到1个回答

zhangxhh813 花朵

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1.由题意,容易求得A,B两点坐标为A（-b,0）B（1-b,1-b）b≠0
设圆C的圆心坐标为C（m,n）半径为r
则圆C方程为(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
代入A,B,O三点坐标,得方程组
m^2+n^2=r^2
(b+m)^2+n^2=r^2
(1-b-m)^2+(1-b-n)^2=r^2
解得：
m=-1/2b
n=-1/2b+1
r^2=1/2b^2-b+1
则n=m+1即圆心C在直线上y=x+1上
2.设圆C过定点P（Xp,Yp）
由于圆心C在直线y=x+1上
则直线y=x+1 垂直平分弦PO
解得：
Xp=-1,Yp=1
即圆C过除原点外一个定点P（-1,1）
3.抛物线M的顶点坐标为D（-1/2b,-1/4b^2）
则DC^2=[-1/2b-(-1/2b)]^2+[-1/4b^2-(-1/2b+1)]^2 简化得
DC^2=1/16·b^4-1/4·b^3+3/4·b^2-b+1
又r^2=1/2b^2-b+1
另DC^2≤r^2
1/16·b^4-1/4·b^3+3/4·b^2-b+1≤1/2b^2-b+1
简化得：b^4-4b^3+4b^2≤0
配方：b^2(b-2)^2≤0
当且仅当b=0或2时,不等式成立
由题意,b≠0,所以b=2时抛物线M：y=x^2+2x顶点与圆心C的距离等于圆C的半径

1年前他留下的回答

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　　以上就是小编为大家介绍的如图,抛物线M:y=x^2+bx与x轴交于O,A两点,交直线l：y=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C, 的全部内容，如果大家还对相关的内容感兴趣，请持续关注上海建站网！