设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列并求通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n． 七七妹子 1年前他留下的回答 已收到1个回答

欲滴一朵花 网友

该名网友总共回答了11个问题，此问答他的回答如下：采纳率：90.9%

解题思路：（I）由S_n+1=3S_n+2，知S_n=3S_n-1+2（n≥2），两式作差可得a_n+1=3a_n（n≥2），然后验证第二项与第一项的比是否满足，从而证明{a_n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式解之即可；
（II）根据数列{na_n}的特点可知利用错位相消法进行求和即可．

证明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
两式相减得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6则
a2
a1=3
∴
an+1
an=3（n≥1）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1•a₁+2•a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×
3n−1
3−1-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴Tn＝
(2n−1)3n+1
2 （13分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式，以及求和，同时考查了利用错位相消法求和以及计算能力，属于中档题．

1年前他留下的回答

2

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