（2012•温州二模）若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“Hold直线”，已知△ABC的三边

（2012•温州二模）若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“Hold直线”，已知△ABC的三边之长分别为6、8、10，则△ABC的“Hold直线”（　　）
A．存在一条
B．存在两条
C．存在无数条
D．不存在 三一月 1年前他留下的回答 已收到1个回答

笑窝儿 春芽

该名网友总共回答了25个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：（1）若直线过△ABC的某个顶点；（2）若直线交△ABC的某两条边，把这2种情况的直线数相加即得所求．

（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，
假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN=NC，此时，AC＞AB，
所以周长相等不可能．
同理直线过B、C时，周长相等不可能．
（2）若直线l交AB、BC于点M、N．如图，作MD⊥BC，D为垂足，
设AB=6，AC=8，BC=10．
设BN=x，则由直线MN平分三角形的周长可得BM=12-x．
作MD⊥BC，由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=
8(12−x)
10．
根据S_△MBN=[1/2]MD•BN=[1/2]S_△ABC，
可得BN=6+
6，BM=6-
6；
或者BN=6-
6 且BM=6+
6（不合题意，舍去）．
即这样的直线存在，且只有一条，
综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．
当直线和CA、B分别相交于点M′、N′时，设CN′为x，则CM′为12-x，
过N′做AC垂线交AC于点O，即为AB平行线，由△CM′O∽△CAB，可得[x/10＝
ON′
6]，解得ON′=[3/5]x．
再由AC•ON′=[1/2]AC•AB 整理得x²-12x+40=0，此方程无解，所以这种情况不存在．
故选A．

点评：
本题考点： 确定直线位置的几何要素．

考点点评： 此题主要分情况考虑．分析的时候，首先保证符合其中一个条件，再进一步看是否满足另一个条件，属于基础题．

1年前他留下的回答

6

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