（本小题满分12分）如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面BCD， ．求点A到平面MBC的距离。

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acexeon 网友

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解法一: （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD= ,四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0， ，0)，P(0,0,2)，
又E，F分别是AD ，PC的中点，
∴E(0， ，0)，F(1， ，1).
∴ =（2， ，-2） =（-1， ，1） =（1,0, 1），
∴ · =-2+4-2=0， · =2+0-2=0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩EF=F,
∴PC⊥平面B EF，
（II）由（I）知平面BEF的法向量 ,
平面BAP 的法向量 ,
∴ .设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则 ,
∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法二 （I）连接PE，EC在 和 中.
PA="AB=CD," AE=DE,
∴ PE=" CE," 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又 ，F是PC 的中点，
∴ BF⊥PC.
又 ,∴ .
（II）∵ ∴ ,
又ABCD是矩形，∴AB BC
∴BC 平面BAP,B C PB,
又由（Ⅰ）知PC 平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在 中， ∴
所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

略

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