已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=[3/2]，a2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0，其中n≥2，n∈N

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=[3/2]，a₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0，其中n≥2，n∈N^*．
①求证数列{a_n-1}是等比数列；
②求数列{a_n}的前n项和S_n． 99cs2ufo 1年前他留下的回答 已收到1个回答

1553B总线 网友

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：82.4%

解题思路：①把S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0变形为S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，由此得到a_n+1=2a_n-1（n≥2），由此能够证明数列{a_n-1}是等比数列．
②由数列{a_n-1}是等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式，再用分组求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

①证明：∵S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0，
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，
∴a_n+1=2a_n-1（n≥2）…3分
又∵a₁=[3/2]，a₂=2也满足上式，
∴a_n+1=2a_n-1（n∈N^*），
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N^*），
∴数列{a_n-1}是公比为2，首项为a₁-1=[1/2]的等比数列…6分．
②∵数列{a_n-1}是公比为2，首项为a₁-1=[1/2]的等比数列，
∴a_n-1=[1/2]×2^n-1=2^n-2，
∴a_n=2^n-2+1…8分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（2^-1+1）+（2⁰+1）+（2¹+1）+…+（2^n-2+1）
=（2^-1+2⁰+2¹+…2^n-2）+n
=
2n−1
2+n…12分．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的证明和等比数列的前n项和的求法，解题时要注意等价转化思想和分组求和法的合理运用．

1年前他留下的回答

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