已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）¬p是q的什么条件？请说明理由． Uniqueyao 1年前他留下的回答 已收到1个回答

nothing象 网友

该名网友总共回答了14个问题，此问答他的回答如下：采纳率：92.9%

解题思路：（1）命题p可转化为恒成立问题，根据类二次函数的性质，可得到a的取值范围；
（2）命题q可转化为真数部分的值域包含（0，+∞），据些构造关于a的不等式组，解可得a的取值范围；
（3）由（1）求出¬p，并比较两个命题对应的参数a的范围之间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”可得答案．

（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或

a2−1＞0
△＝(a+1)2−4(a2−1)＜0.…（3分）
解得a≤-1或a＞
5
3．
∴实数a的取值范围为（-∞，−1]∪(
5
3，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为A
则A⊇（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或

a2−1＞0
△＝(a+1)2−4(a2−1)≥0.…（8分）
解得1≤a≤
5
3．
∴实数a的取值范围为[1，
5
3]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
¬p：a∈(−1 ，
5
3]；q：a∈[1 ，
5
3]．
而(−1，
5
3]⊃[1，
5
3]，
∴¬p是q的必要而不充分的条件．…（13分）

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题是对数函数性质，恒成立问题，充要条件的综合应用，（1）中的转化思想，以及类二次函数的图象及性质中的分类讨论思想，都是高中重点培养的数学思想，（2）的转化比较难理解，可借助二次函数的图象和性质进行分析．

1年前他留下的回答

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