如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点；

（Ⅰ）若E是CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出CE的长度，使得A₁-BD-E为直二面角． 俺能数到5 1年前他留下的回答 已收到1个回答

mylvyao 网友

该名网友总共回答了18个问题，此问答他的回答如下：采纳率：83.3%

解题思路：（I）连接CD₁，由直四棱柱的性质，可得A₁D₁BC是平行四边形，从而CD₁∥A₁B，再用三角形中位线定理证出EF∥CD₁，所以EF∥A₁B，最后用线面平行的判定定理，可证出EF∥平面A₁BD；
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A₁O，EO．利用线面垂直的判定与性质可证出A₁O⊥BD、EO⊥BD，从而∠A₁OE就是二面角
A₁-BD-E的平面角．因此要使A₁-BD-E为直二面角，即∠A₁OE=90°，由平几知识可得△A₁AO～△OCE，利用对应线段成比例结合已知条件，可得当CE的长度为[3/4]时，二面角A₁-BD-E为直二面角．

（I）连接CD₁，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁且B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
∴四边形A₁D₁BC是平行四边形，可得CD₁∥A₁B
∵△C₁CD₁中，EF是中位线，∴EF∥CD₁
∴EF∥A₁B-----（3分）
∵EF⊄面ABB₁A₁，A₁B⊆面ABB₁A₁
∴EF∥平面A₁BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A₁O，EO
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥AA₁
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA₁是平面AA₁C₁C内的相交直线，
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵A₁O、EO⊆平面AA₁C₁C，∴A₁O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A₁OE就是二面角A₁-BD-E的平面角，
因此，要使A₁-BD-E为直二面角，即∠A₁OE=90°，可得∠A₁OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A₁OA=90°-∠EOC，结合∠A₁AO=∠OCE=90°，得△A₁AO～△OCE．
设CE=x，所以
AA1
OC=[OA/CE]，…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC=[1/2]AC=
3，
又因为AA₁=4，代入（*）可得
4

3＝

3
x，解之得x＝
3
4
∴当CE的长度为[3/4]时，二面角A₁-BD-E为直二面角．…（12分）

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题给出底面为菱形的直四棱柱，证明直线与平面平行并探求了平面与平面成直角的问题，着重考查了线面平行的判定和面面垂直的定义，以及二面角的平面角求法等知识，属于中档题．

1年前他留下的回答

2

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