如图P是双曲线x2/a2-y2/b2=1上任意一点,

如图P是双曲线x2/a2-y2/b2=1上任意一点,
如图P是双曲线x2/a2-y2/b2=1上任意一点，过点P作与两渐近线平行直线与这两直线交于Q，求证：平行四边形OQPR面积是与P点无关的定值 iyd7l 1年前他留下的回答 已收到1个回答

异日丹青 花朵

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设双曲线方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ,a>0,b>0 ,焦点在x轴.
则 渐近线为：
L1：y=(b/a)·x
L2：y=-(b/a)·x
P(x0,y0) 是双曲线上任意一点,
设 y=-(b/a)·x+d 是过P点平行L2的直线,交y轴D(0,d),与L1交于E(x1,y1)
则 d=(bx0+ay0)/a ,
x1=(bx0+ay0)/(2b) ,x1与 x0 同号
因为 三角形DOE的面积S1=|d · x1| / 2
于是所求面积S=2SE0P=|x0 · d|-2 · S1=|x0·d|-|x1·d|
因为 x0与x1同号,所以
S=|x0-x1|·|d|
=(bx0-ay0)(bx0+ay0)/(2ab)
=a^2·b^2/(2ab)=ab/2
即对已知双曲线,S=ab/2 是定值.
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1年前他留下的回答

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