P、Q是抛物线C:y=x平方上两动点,直线l1,l2分别是C在点P、点Q处的切线,L1交L2=M,L1垂直L2

P、Q是抛物线C:y=x平方上两动点,直线l1,l2分别是C在点P、点Q处的切线,L1交L2=M,L1垂直L2
（1）求证：点M的纵坐标为定值,且直线PQ经过一定点(2）求三角形PQM面积的最小值 xjwl1234 1年前他留下的回答 已收到2个回答

c01001 花朵

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证明：
（1）设点P为(p,p^2),点Q为（q,q^2)
对抛物线方程求导：y'=2x
在点P和点Q处的斜率分别为：2p,2q
所以切线L1和L2分别为：
L1：y-p^2=2p(x-p),y=2px-p^2
L2：y-q^2=2q(x-q),y=2qx-q^2
因为：L1⊥L2,所以：2p*2q=-1,pq=-1/4
L1和L2交于点M：y=2px-p^2=2qx-q^2
x=（p+q)/2,y=pq=-1/4
所以点M为(p/2+q/2,-1/4),故点M的纵坐标为定值-1/4
PQ直线为：y-p^2=(x-p)(q^2-p^2)/(q-p),整理得：y=(p+q)x+1/4
所以PQ直线经过定点（0,1/4）,即抛物线y=x^2的焦点.
（2）PQ直线y=(p+q)x+1/4,令k=p+q>=0,kx-y+1/4=0,则点M为（k/2,-1/4）
点M到PQ的距离为：
|k*k/2-(-1/4)+1/4|/√(k^2+1^2)
=[√(k^2+1)]/2
|PQ|=p+1/4+q+1/4=k+1/2
所以：
S△PQM
=|PQ|*点M到PQ的距离/2
=(k+1/2)*[√(k^2+1)]/2/2
=(k+1/2)*[√(k^2+1)]/4
由于f(x)=k+1/2和g(x)=√(k^2+1)在k>=0上都属于增函数,所以S△PQM在k>=0上也是增函数,
故S△PQM最小值在k=0处取得为：
（S△PQM）min=1/8

1年前他留下的回答

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dingking18 网友

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p(Xp,Yp) q(Xq,Yq)f'(Xp)=2Xpf'(Xq)=2Xq2Xp=-1/2Xq L1:y-Xp^2=2Xp(x-Xp)L2:y-Xq^2=2Xq(x-Xq)Xp^2+2Xp(x-Xp)=Xq^2+2Xq(x-Xq)-Xp^2+2Xp*x=-Xq^2+2Xq*xx=(Xq^2-Xp^2)/2(Xq-Xp)=(Xq+Xp)/2y=XpXq=-1/4

1年前他留下的回答

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