设n为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数．

就是懒人怎么办 1年前他留下的回答 已收到1个回答

xingal 网友

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解题思路：由于64ⁿ-7ⁿ能被57整除，则可设64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，根据幂的乘方得到和提公因数得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），于是可得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

证明：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，
∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ
=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ
=57（8m+7ⁿ），
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

点评：
本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用：运用因式分解的方法可简化运算．

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