已知数列{anpn−1}的前n项和Sn=n2+2n（其中常数p＞0），数列{an}的前n项和为Tn．

已知数列{

an

pn−1

}的前n项和S_n=n²+2n（其中常数p＞0），数列{a_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n的表达式；
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，都有(1−p)Tn+pan≥2pn恒成立，求p的取值范围． 度是0344 1年前他留下的回答 已收到1个回答

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解题思路：（Ⅰ）由S_n-S_n-1可得数列{

an

pn−1

}的通项公式，从而得a_n；
（Ⅱ）由通项a_n写出前n项和T_n的表达式并计算结果；
（III）讨论p=1时，p≠1时，不等式是否成立．

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，
an
pn−1=S_n-S_n-1=2n+1，得a_n=（2n+1）p^n-1；
又因为n=1也满足上式，所以a_n=（2n+1）p^n-1；
（Ⅱ）∵T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1，
①当p=1时，T_n=3+5+7+…+（2n+1）=n²+2n；
②当p≠1时，由T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1得
pT_n=3p+5p²+7p³+…+（2n-1）p^n-1+（2n+1）pⁿ，
∴（1-p）T_n=3+2（p+p²+p³+…+p^n-1）-（2n+1）pⁿ，
∴T_n=[3/1−p]+
2p(1−pn−1)
(1−p)2-[1/1−p]（2n+1）pⁿ．
综上，当p=1时，T_n=n²+2n；
当p≠1时，T_n=[3/1−p]+
2p(1−pn−1)
(1−p)2-[1/1−p]（2n+1）pⁿ．
（ III）①当p=1时，显然对任意n∈N^*，都有（1-p）T_n+pa_n≥2pⁿ恒成立；
②当p≠1时，可转化为对任意n∈N^*，都有3+
2p(1−pn−1)
1−p≥2pⁿ恒成立．
即对任意n∈N^*，都有[3−p/1−p]≥[4−2p/1−p]pⁿ恒成立．
当0＜p＜1时，只要[3−p/4−2p]≥p成立，解得：0＜p＜1；
当1＜p＜2时，只要[3−p/4−2p]≤pⁿ 对任意n∈N^*恒成立，
只要有[3−p/4−2p]≤pⁿ对任意n∈N^*恒成立，
只要有[3−p/4−2p]≤p成立，解得：1＜p≤[3/2]；
当p≥2时，不等式不成立．
综上，实数p的取值范围为（0，[3/2]]．

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查了等差、等比数列的综合应用以及数列与不等式的综合应用问题，其中（Ⅰ）是基础题，（Ⅱ）是中档题，（Ⅲ）是难题．

1年前他留下的回答

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