已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1,的离心率为二分之根号二,且经过点M（-2,0）,设直

已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1,的离心率为二分之根号二,且经过点M（-2,0）,设直
线l为y=kx+m,与椭圆相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）,连接MB,MA并延长交直线x=4于P,Q,设yp,yq分别为P,Q的纵坐标,且1/y1+1/y2=1/yp+1/yq
,求证l过一个定点 tedwase 1年前他留下的回答 已收到1个回答

一蓑烟雨客_潇潇 网友

该名网友总共回答了18个问题，此问答他的回答如下：采纳率：94.4%

∵椭圆过点（1,√2/2）,　∴1/a^2+（1/2）/b^2=1,　∴2b^2+a^2=2a^2b^2．
∵e=c/a=√2/2,　∴√（a^2-b^2）/a=√2/2,　∴（a^2-b^2）/a^2=1/2,
∴2a^2-2b^2=a^2,　∴a^2=2b^2．
联立：2b^2+a^2=2a^2b^2、a^2=2b^2,消去a,得：2b^2+2b^2=4b^4,　∴b^2=1．
将b^2=1代入a^2=2b^2中,得：a^2=2．
令AB的中点为D．
改写直线方程,得：y=x+M．
∵A、B都在直线y=x+M上,　∴可令A、B的坐标分别是（m,m+M）、（n,n+M）．
联立：x^2/2+y^2=1、x-y+M=0,消去y,得：x^2/2+（x+M）^2=1,
x^2+2x^2+4Mx+2M^2-2=0,　∴3x^2+4Mx+2M^2-2=0．　显然,m、n是该方程的根,
∴由韦达定理,有：m+n=4M/3．
由中点坐标公式,容易得出：AB的中点坐标为D（2M/3,5M/3）．
∵D不在圆x^2+y^2=5/9内,　∴OD≧√5/3,　∴√[（2M/3）^2+（5M/3）^2]≧√5/3,
∴√29|M|≧√5,　∴|M|≧√5/√29=√145/29,　∴M≤-√145/29,　或M≧√145/29．
∴满足条件的M的取值范围是（-∞,-√145/29）∪（√145/29,+∞）．
∴满足条件的椭圆方程为x^2/2+y^2=1．

1年前他留下的回答

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