设函数f（x）=lnx-[a/x]，g（x）=ex（ax+1），其中a为实数．

设函数f（x）=lnx-[a/x]，g（x）=e^x（ax+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，且g（x）在（-∞，1）上有最大值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（1，2）上不是单调函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论． 缘股时代 1年前他留下的回答 已收到1个回答

morsum 网友

该名网友总共回答了20个问题，此问答他的回答如下：采纳率：95%

解题思路：（Ⅰ）求函数的导数，根据y=f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，则f'（x）≥0恒成立，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，则等价于g'（x）=0在（1，2）上有解，然后求出函数的最值，即可判断函数零点的个数．

（Ⅰ）∵f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，
∴f'（x）=[1/x]+[a
x2在（1，+∞）上恒成立，∴a≥-x，
∵-x＜-1，∴a≥-1，
∵g（x）=e^x（ax+1），∴g′（x）=e^x（ax+a+1），
①-1≤a＜0时，在（-∞，-1-
1/a]）上，g′（x）＞0，在（-1-[1/a]，+∞）上f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（-1-[1/a]），而-1-[1/a]在（-∞，1）上，符合题意，
②a=0时，g′（x）＞0，没有最大值，
③a＞0时，在（-∞，-1-[1/a]）上，g′x）＜0，在（-1-[1/a]，+∞）上，g′（x）＞0，
∴f（x）有最小值，不合题意，
综上，-1≤a＜0；
（Ⅱ）∵g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，
∴g'（x）=e^x（ax+a+1）=0在（1，2）上有解，
∴a≠0且1＜-[a+1/a]＜2，
∴-[1/2]＜a＜-[1/3]，
由f（x）=lnx-[a/x]=0得a=xlnx，
令h（x）=xlnx，则h'（x）=1+lnx，
由h'（x）=0，得x=[1/e]，
在（0，[1/e]）上，h'（x）＜0，此时h（x）是减函数，
在（[1/e]，+∞）上，h'（x）＞0，此时h（x）是增函数，
∴当x=[1/e]时，h（x）取得极小值，也是最小值为h（[1/e]）=-[1/e]，
又0＜x＜1时，h（x）＜0，
x≥1时，h（x）≥0，
∴当-[1/2]＜a＜-[1/e]时，f（x）的零点个数为0，
当a=-[1/e]时，f（x）的零点个数为1，
当-[1/e]＜a＜-[1/3]时，f（x）的零点个数为2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查学生的计算能力．要求熟练掌握函数的单调性，极值，最值和导数之间的关系．

1年前他留下的回答

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