已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
①讨论f（x）的单调性：
②设a＞0，证明：当0＜x＜[1/a]时，f（[1/a]+x）＞f（[1/a]-x）． saico 1年前他留下的回答 已收到1个回答

deargaogao 花朵

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解题思路：①求导，并判断导数的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间．
②构造函数g（x）=f（[1/a]+x）-f（[1/a]-x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜[1/a]时的最小值大于零即可．

①函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax²+（2-a）x，
∴f'（x）=[1/x−2ax+2−a=
−2ax2+(2−a)x+1
x]=−
(2x+1)(ax−1)
x．
（1）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=[1/a]，
当x∈（0，[1/a]）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
当x∈（[1/a]，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减．
（2）当a≤0时，f'（x）＞0恒 成立，
因此f（x）在（0，+∞）单调递增．
②设函数g（x）=f（[1/a]+x）-f（[1/a]-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g′（x）=[a/1+ax+
a
1−ax−2a＝
2a3x2
1−a2x2]，
当x∈（0，[1/a]）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞0，
故当0＜x＜[1/a]时，f（[1/a]+x）＞f（[1/a]-x）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．

1年前他留下的回答

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