（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0,y0）,点A（1,yA）、B（0,yB）

（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0,y0）,点A（1,yA）、B（0,yB）、C（-1,yC）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1,b=4,c=10时 ①求顶点P的坐标； ②求 yA yB-yC 的值； （Ⅱ）当y0≥0恒成立时,求 yA yB-yC 的最小值． hainanese1 1年前他留下的回答 已收到1个回答

chshengfeng 网友

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（Ⅰ）若a=1,b=4,c=10,此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10. ①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6,∴抛物线的顶点坐标为P（－2,6）. ②∵点A（1,yA）、B（0,yB）、C（－1,yC）在抛物线y=x2+4x+10上, ∴yA=15,yB=10,yC=7.∴. （Ⅱ）由0＜2a＜b,得. 由题意,如图过点A作AA1⊥x轴于点A1, 则AA1=yA,OA1=1. 连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D, 则BD=yB－yC,CD=1. 过点A作AF∥BC,交抛物线于点E（x1,yE）,交x轴于点F（x2,0）. 则∠FAA1=∠CBD.∴Rt△AFA1∽Rt△BCD. ∴ ,即. 过点E作EG⊥AA1于点G,易得△AEG∽△BCD. ∴,即. ∵点A（1,yA）、B（0,yB）、C（－1,yC）、E（x1,yE）在抛物线y=ax2+bx+c上, ∴yA=a+b+c,yB=c,yC=a－b+c,yE=ax12+bx1+c, ∴,化简,得x12＋x1－2=0, 解得x1=－2（x1=1舍去）. ∵y0≥0恒成立,根据题意,有x2≤x1＜－1. 则1－x2≥1－x1,即1－x2≥3. ∴的最小值为3.

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