如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．

（1）试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；
（2）求PB+PH的最小值；
（3）设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．
winson1983214 1年前他留下的回答 已收到1个回答

水之_ 网友

该名网友总共回答了13个问题，此问答他的回答如下：采纳率：84.6%

解题思路：对于（1）既然不论点P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那应该有BD⊥面SAC；
对于（2）需要将PB+PH的表达式用函数表示出来
对于（3）利用线面平行的性质定理和判定定理

（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，------------------------------（1分）
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，---------------------（2分）
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，
∴DB⊥PC．----------------------------------------------（3分）
（2） 将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，
则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线
段BH的长，--------------------------------------------（4分）
设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，
在rt△AHD中，∵AH=
SA•AD
SD=
2

5，∴cosα=
AH
AD=
2

5，--------------------（6分）
在三角形BAH中，有余弦定理得：BH²=AB²+AH²-2AB•AHcos（π-α）
=1+
4
5-2×
2

5×(-
2

5)=
17
5，∴（
(PB+PH)min=

85
5．------------------------------------------------------------（8分）
（3）连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，-------------------------------------（9分）
又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，----------------------------------（10分）
∴[SE/SB=
SH
SD]，∴EH∥BD，-----------------------（12分）
又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．-----------（13分）
∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l-----------（14分）

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定和性质，空间距离的计算，线面平行，面面平行的判定及性质综合性较强，对语言组织能力要求较高．属于中高档题目

1年前他留下的回答

6

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