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△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2

网站编辑:上海建站网 发布时间:2022-05-15  点击数:
导读:△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2 apeny 1年前他留下的回答 已收到1个回答 jinsy1531 网友 该名网友总共回答了17个问题,此问答...

△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2

apeny 1年前他留下的回答 已收到1个回答

jinsy1531 网友

该名网友总共回答了17个问题,此问答他的回答如下:采纳率:88.2%

解题思路:方法一; 使用余弦定理,由已知求出b=
2ac
a+c
,计算cosB=
a2+c2−b2
2ac
>0,故B<
π
2

方法二:反证法,假设B≥
π
2
,则 b为最大边,有b>a>0,b>c>0.
则[1/b<
1
a
1
b
1
c],可得[2/b
1
a
+
1
c],
与已知矛盾,

证明:方法一:已知[1/a+
1
c=
2
b].
得b=
2ac
a+c,
a2+c2−b2=a2+c2−(
2ac
a+c)2≥2ac−
4a2c2
(a+c)2=2ac(1−
2ac
(a+c)2)≥2ac(1−
2ac
4ac)>0.
即cosB=
a2+c2−b2
2ac>0
故B<
π
2
法2:反证法:假设B≥
π
2.
则有b>a>0,b>c>0.
则[1/b<
1
a,
1
b<
1
c]
可得[2/b<
1
a+
1
c]与已知矛盾,
假设不成立,原命题正确.

点评:
本题考点: 不等式的证明.

考点点评: 方法一; 使用余弦定理,方法二,使用反证法,方法二比较简单.

1年前他留下的回答

5

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