已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率是3分之根号6,F是左焦点,直线x-根号6y=0与椭圆交于A、B

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率是3分之根号6,F是左焦点,直线x-根号6y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求椭圆方程
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的8 网友

该名网友总共回答了15个问题，此问答他的回答如下：采纳率：86.7%

(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3,即a=√3,因为√3=√(b²+c²)=a所以e=c/a=√6/3,所以c=√2
所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论①当直线l斜率不存在时,l方程为：x=±√3/2,此时代入椭圆方程得：y=±√3/2所以|AB|=√3,S△=3/4
②当斜率存在时,l方程为y=kx+b,O到直线距离d=|b
|/√(1+k²)=√3/2.
所以b=±3(1+k²)/4,由椭圆对称性现在只讨论b>0情况,即b=√(3+3k²)/2.y=kx+√(3+3k²)/2与x²/3+y²=1联立整理得：
(1+3k²)x²+6k√(3+3k²)x+(3k²-3)/4=0
x1+x2=-6k√(3+3k²)/(1+3k²),x1x2=(3k²-3)/(4+12k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)=√[(x1+x2)²-4x1x2]√(1+k²)
运算得|AB|=√(99k^4+114k²+3)/(1+3k²)
令k²=t则|AB|=f(t)=√3√(33t²+38t+1)/(1+3t),f'(t)=0时解得t=2/3,此时f(t)为极大值.此时k²=2/3,|AB|=√123/3,S=√41/4>3/4
所以S△AOB最大值为√41/4.

1年前他留下的回答

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