如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．
求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC． 清若幽幽 1年前他留下的回答 已收到1个回答

jcuddcga 网友

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解题思路：（1）连接AF，BG．根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到FH=BH，则∠HFB=∠FBH，同理∠AGH=∠GAH，则∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．从而证明结论．

证明：（1）连接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜边AB中点，
∴FH=[1/2]AB．
同理得HG=[1/2]AB，
∴FH=HG．
（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD，
=180°-2∠ADB，
=180°-2（∠BFH+∠AGH），
=180°-2∠BFH-2∠AGH，
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．

点评：
本题考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．

考点点评： 此题综合运用了三角形的中位线定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．

1年前他留下的回答

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