已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(23)x2−x+C（其中f ′(23)为f（x）在点x＝

已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(

2

3

)x2−x+C（其中f ′(

2

3

)为f（x）在点x＝

2

3

处的导数，C为常数）．
（1）求f ′(

2

3

)的值；
（2）求函数f（x）的单调区间． wanglimin000 1年前他留下的回答 已收到1个回答

shaiying51 网友

该名网友总共回答了9个问题，此问答他的回答如下：采纳率：66.7%

解题思路：（1）由f(x)＝x3+f ′(

2

3

)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(

2

3

)x−1．由此能求出f ′(

2

3

)的值．
（2）由f（x）=x³-x²-x+C．知f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+

1

3

)(x−1)，列表讨论能求出f（x）的单调区间．

（1）由f(x)＝x3+f ′(
2
3)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
2
3)x−1．
取x＝
2
3，得f ′(
2
3)＝3×(
2
3)2+2f ′(
2
3)×(
2
3)−1，
解之，得f ′(
2
3)＝−1，…（6分）
（2）因为f（x）=x³-x²-x+C．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)，列表如下：

x (−∞，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，1) 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3)，（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(−
1
3 ， 1)．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题考查函数的导数值的求法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

1年前他留下的回答

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