已知函数f(x)＝a−22x+1 (a∈R)

已知函数f(x)＝a−

2

2x+1

(a∈R)
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为f（x）奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 茵樱 1年前他留下的回答 已收到1个回答

半俗半雅客的小丑 网友

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解题思路：（1）函数f（x）为R上的增函数，利用函数单调性的定义进行证明；
（2）函数f（x）为奇函数，则f（0）=a-1=0，可得a=1，再进行验证即可；
（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）对任意的t∈R恒成立．

（1）函数f（x）为R上的增函数．证明如下：…（1分）
证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝(a−
2
2x1+1)−(a−
2
2x2+1)=
2
2x2+1−
2
2x1+1＝
2(2x1−2x2)
(2x2+1)(2x1+1)．…（3分）
因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，所以2x1−2x2＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）为R上的增函数．…（4分）
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
当a=1时，f(x)＝1−
2
2x+1=
2x−1
2x+1．
∴f（-x）=
2−x−1
2−x+1=
1−2x
1+2x=-
2x−1
2x+1=-f（x），…（8分）
此时，f（x）为奇函数，满足题意，所以，a=1．…（8分）
（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）对任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因为在（-∞，+∞）上为增函数，所以等价于不等式t²+2＞tk-t²对任意的t∈R恒成立，即不等式2t²-kt+2＞0对任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必须有△=k²-16＜0，即-4＜k＜4，所以实数k的取值范围{k|-4＜k＜4}．…（12分）

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

1年前他留下的回答

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