求方程x+y=x^2-xy+y^2的整数解.

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一线地 网友

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首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0,现在题目说x+y=x^2-xy+y^2,所以x+y>=0.
下面说明如果原方程有整数解,那么解不可能出现负数.否则,假设y=0,故xy=x^2+y^2,所以x>x+y>=x^2+y^2,但x是整数,所以必有x0,故得到x=0,y>=0.
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y,得到(x+y)^2=x^3+y^3,但是要注意到如果x,y都大于2的话,那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2,而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0.因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2,所以此时方程无整数解!从而可知x,y中至少有一个不超过2..先假设x不超过2,但x又是非负整数,那么它只可能取0,1或2.分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2.同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2.
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2.一共有六组.

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