已知函数f(x)=e^x+ax-1(a属于R且a为常数)若对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),求a的取值范围

清水挂面哗啦啦 1年前他留下的回答 已收到1个回答

颖娟宝宝 网友

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设g(x)=f(x)-f(-x)=e^x+ax-1-(e^(-x)-ax-1)=e^x-e^(-x)+2ax
由题意得,对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),即转化为：
对x≥0,g(x)≥0恒成立；所以要求g(x)极小值≥0
g'(x)=e^x+e^(-x)+2a
再设G(x)=g'(x),则G'(x)=e^x-e^(-x)=(e^(2x)-1)/e^(-x)
因为x ≥0,则G‘(x)>0,
即G(x)在x≥0时递增,G(x)min=G(0)=2+2a
所以g'(x)min=2+2a
当2+2a≥0时,a≥-1,此时g'(x)≥0恒成立,所以g(x)递增,
即g(x)min=g(0)=0
所以g(x)在x≥0恒有g(x)≥0,即f(x)≥f(-x)；
a的取值范围为(-1,+∞)

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