已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+（-1）n（n∈N*）．

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_2n-1-[1/3]，求证：数列{b_n}是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：[1a1 zhang20011030310 1年前他留下的回答 已收到1个回答

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解题思路：（1）利用已知递推关系式推出a_2n+1=4a_2n-1-1，然后证明

bn+1

bn

＝4，即可证明数列{b_n}是等比数列，即可求其通项公式；
（2）利用（1）两个数列的关系式，通过n为奇数与偶数求数列{a_n}的通项公式；
（3）通过n为奇数与偶数分别求解

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的和，然后判断与3的大小关系即可．．

（本小题满分15分）
（1）a2n+1＝2a2n+(−1)2n=2[2a2n−1+(−1)2n−1]+1＝4a2n−1−1，…（2分）
bn+1
bn＝
a2n+1−
1/3
a2n−1−
1
3＝
4a2n−1−
4
3
a2n−1−
1
3＝4，又b1＝a1−
1
3＝
2
3]．
所以{b_n}是首项为[2/3]，公比为4的等比数列，且bn＝
2
3×4n−1．…（5分）
（2）由（1）可知a2n−1＝bn+
1
3＝
2
3×4n−1+
1
3＝
1
3(22n−1+1)，…（7分）a2n＝2a2n−1+(−1)2n−1＝
2
3(22n−1+1)−1＝
1
3(22n−1)．…（9分）
所以an＝
1
3(2n+(−1)n+1)，
或an＝


1
3(2n−1)；(n＝2k)

1
3(2n+1)．(n＝2k−1)…（10分）
（3）∴a2n＝
1
3•22n−
1
3，a2n−1＝
2
3•22n−1+
1
3．
[1
a2n−1+
1
a2n＝
3
22n−1+1+
3
22n−1
=
3×(22n+22n−1)
22n−1•22n+22n−22n−1−1
=
3×(22n+22n−1)
22n−1•22n+22n−1−1≤
3×(22n+22n−1)
22n−1•22n
=3(
1
22n−1+
1
22n)…（12分）
当n=2k时，(
1
a1+
1
a2)+(
1
a3+
1
a4)+…+(
1
a2k−1+
1
a2k)
≤3(
1/2+
1
22+
1
23+…+
1
22k)＝3×

1
2(1−
1
22k)
1−
1
2]
=3−
3
22k＜3
当n=2k-1时，(
1
a1+
1
a2)+(
1
a3+
1
a4)+…+(
1
a2k−3+
1
a2k−2)+
1
a2k−1
＜(
1
a1+
1
a2)+(
1
a3+
1
a4)+…+(
1
a2k−1+
1
a2k)＜3
∴[1/a1]+[1/a2]+…+[1/an]＜3．…（15分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，数列与不等式的关系，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．

1年前他留下的回答

3

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