求极限limx→0[ln(1+x)x]1ex−1．

532218040 1年前他留下的回答 已收到1个回答

蓝百合花 网友

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解题思路：本题考查″1^∞″未定式的极限．
方法一，利用两个重要极限中的公式：

lim

x→∞

(1+

1

x

)x＝e，将其进行变量替换，可以化为更一般的形式：

lim

α(x)→0

(1+α(x))

1

α(x)

＝e，最后利用等价无穷小量，洛比达法则；
方法二，利用两个重要极限中的公式：

lim

x→∞

(1+

1

x

)x＝e，将其进行变量替换，可以化为更一般的形式：

lim

α(x)→0

(1+α(x))

1

α(x)

＝e，最后利用泰勒公式；
方法三，对未定式“1^∞”的极限，通常用下述命题来完成：命题：若

lim

x→x0

A(x)＝0，

lim

x→x0

B(x)＝∞，则

lim

x→x0

(1+A(x))B(x)＝e

lim

x→x0

(A(x)•B(x))

利用两个重要极限中的公式：
lim
x→∞(1+
1
x)x＝e
将其进行变量替换，可以化为更一般的形式：
lim
α(x)→0(1+α(x))
1
α(x)＝e
∵

ln(1+x)
x＝1+
ln(1+x)−x
x，且有
lim
x→0
ln(1+x)−x
x＝0
∴
lim
x→0[
ln(1+x)
x]
1
ex−1
=
lim
x→0[1+
ln(1+x)−x
x]
x
ln(1+x)−x•
ln(1+x)−x
x(ex−1)
=e
lim
x→0
ln(1+x)−x
x(ex−1)
∵e^x-1～x
∴原极限=e
lim
x→0
ln(1+x)−x
x2
方法一（洛比达法则）：
利用洛比达法则：
∴原极限=e
lim
x→0

1
1+x−1
2x=e
lim
x→0
−1
2(x+1)=e−
1
2
方法二（泰勒公式）：

lim
x→0[
ln(1+x)
x]
1
ex−1＝e
lim
x→0

点评：
本题考点： 洛必达法则；等价无穷小代换定理及其应用；利用泰勒公式求极限．

考点点评： 对未定式“1∞”的极限，通常用下述命题来完成：命题：若limx→x0A(x)＝0，limx→x0B(x)＝∞，则limx→x0(1+A(x))B(x)＝elimx→x0(A(x)•B(x))，或者利用两个重要极限中的公式：limx→∞(1+1x)x＝e，将其进行变量替换，可以化为更一般的形式：limα(x)→0(1+α(x))1α(x)＝e进行求解．

1年前他留下的回答

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