如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A 1 、B 1 、C 1 ，已知 O A 1 = 3 2 ． （1）求证：B 1 C 1 ⊥平面OAH； （2）求二面角O-A 1 B 1 -C 1 的大小．

毛毛0723 1年前他留下的回答 已收到1个回答

cauter15 网友

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（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF ∥ BC，
则EF ∥ 平面OBC，所以EF ∥ B ₁ C ₁ ．
又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B ₁ C ₁ ．
因为OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，则OA⊥B ₁ C ₁ ，
因此B ₁ C ₁ ⊥面OAH．

（2）作ON⊥A ₁ B ₁ 于N，连C ₁ N．因为OC ₁ ⊥平面OA ₁ B ₁ ，
根据三垂线定理知，C ₁ N⊥A ₁ B ₁ ，∠ONC ₁ 就是二面角O-A ₁ B ₁ -C ₁ 的平面角．
作EM⊥OB ₁ 于M，则EM ∥ OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．
设OB ₁ =x，由
O B 1
M B 1 =
O A 1
EM 得，
x
x-1 =
3
2 ，解得x=3，
在Rt△OA ₁ B ₁ 中， A 1 B 1 =
O A 1 2 +O B 1 2 =
3
2
5 ，则， ON=
O A 1 •O B 1
A 1 B 1 =
3

5 ．
所以 tan∠ON C 1 =
O C 1
ON =
5 ，故二面角O-A ₁ B ₁ -C ₁ 为 arctan
5 ．

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
O-xyz则 A(2，0，0)，B(0，0，2)，C(0，2，0)，E(1，0，1)，F(1，1，0)，H(1，
1
2 ，
1
2 )
所以

AH =(-1，
1
2 ，
1
2 )，

OH =(1，
1
2 ，
1
2 )，

BC =(0，2，-2)
所以

AH •

BC =0，

OH •

BC =0


所以BC⊥平面OAH，
由EF ∥ BC得B ₁ C ₁ ∥ BC，故：B ₁ C ₁ ⊥平面OAH

（2）由已知 A 1 (
3
2 ，0，0) ，设B ₁ （0，0，z）
则

A 1 E =(-
1
2 ，0，1)，

E B 1 =(-1，0，z-1)
由

A 1 E 与

E B 1 共线得：存在λ∈R有

A 1 E =λ

E B 1 得

-
1
2 =-λ
1=λ(z-1) ⇒z=3∴ B 1 (0，0，3)
同理：C ₁ （0，3，0），∴

A 1 B 1 =(-
3
2 ，0，3)，

A 1 C 1 =(-
3
2 ，3，0)
设

n 1 =( x 1 ， y 1 ， z 1 ) 是平面A ₁ B ₁ C ₁ 的一个法向量，
则

-
3
2 x+3z=0
-
3
2 x+3y=0 令x=2，得y=z=1，∴

n 1 =(2，1，1) ．
又

n 2 =(0，1，0) 是平面OA ₁ B ₁ 的一个法量∴ cos＜

n 1 ，

n 2 ＞=
1

4+1+1 =

6
6
所以二面角的大小为 arccos

6
6
（3）由（2）知， A 1 (
3
2 ，0，0) ，B（0，0，2），平面A ₁ B ₁ C ₁ 的一个法向量为

n 1 =(2，1，1) ．
则

A 1 B =(-
3
2 ，0，2) ．
则点B到平面A ₁ B ₁ C ₁ 的距离为 d=
|

A 1 B •

n 1 |
| n 1 | =
|-3+2|

6 =

6
6 ．

1年前他留下的回答

3

　　以上就是小编为大家介绍的如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点， 的全部内容，如果大家还对相关的内容感兴趣，请持续关注上海建站网！