如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD²=DE•DF，为什么？
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． tvirtuousteacher 1年前他留下的回答 已收到1个回答

石本正一 网友

该名网友总共回答了24个问题，此问答他的回答如下：采纳率：87.5%

解题思路：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．

（1）证明：连接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD²=DE•DF，理由如下：
连接AE．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD²=DE•DF．
（3）连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH=
OD2−OH2=
8=2
2．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，


∠OGA＝∠OHD
∠DOA＝∠AOD
OA＝OD，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4
2．

点评：
本题考点： 切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．

1年前他留下的回答

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