（2008•湘西州）已知抛物线y=-[2/3]（x+2）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半

（2008•湘西州）已知抛物线y=-[2/3]（x+2）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；
（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE=m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 孙哈吉 1年前他留下的回答 已收到1个回答

jiabeihe12345 网友

该名网友总共回答了17个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

（1）方程x²-10x+16=0的两根为x₁=8，x₂=2，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0）C（0，8）
∵函数y=-[2/3]（x+2）²+k的对称轴为x=-2，
∴A（-6，0），
即A（-6，0）B（2，0）C（0，8）．（3分）

（2）B点在y=-[2/3]（x+2）²+k上，
∴0=-[2/3]（2+2）²+k，
∴k=[23/3]．（5分）
函数解析式为y=-[2/3]（x+2）²+[23/3]，
顶点坐标为-2，[23/3]），大致图象及顶点坐标如右．（7分）

（3）∵AE=m，AB=8，
∴BE=8-m，
∵OC=8，OA=6，据勾股定理得AC=10，
∵AC∥EF，
∴[AC/EF＝
AB
BE]即[10/EF＝
8
8−m]，EF=
5(8−m)
4，（10分）
过F作FG⊥AB于G，
∵sin∠CAB=sin∠FEB=[4/5]，
而sin∠FEB=[FG/EF]，
∴FG=8-m． 12分
∵S=S_△CEB-S_△FEB=[1/2]×BE×OC-[1/2]×BE×FG=-[1/2]m²+4m，
∴S与m的函数关系式为S=-[1/2]m²+4m，m的取值为0＜m＜8．

（4）∵S=-[1/2]m²+4m中-[1/2＜0，
∴S有最大值．
S=-
1
2]（m-4）²+8，当m=4时，S有最大值为8，
E点坐标为：E（-2，0），
∵B（2，0），E（-2-，0），
∴CE=CB
∴△BCE为等腰三角形．

1年前他留下的回答

4

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