如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面A

如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E、F分别是棱B1C1、A1A的中点
（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC；
（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．
（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H．
连接AH,并延长交BC于G,于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC,∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G为BC的中点．
因此,由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B,且EG∥B1B,∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角,
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°．
问：为什么“∵∠A1AB=∠A1AC,∴AG为∠BAC的平分线” Tostao 1年前他留下的回答 已收到1个回答

不锈钢林江仙 网友

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您好
（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H．
连接AH,并延长交BC于G,于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC,∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G为BC的中点．
因此,由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B,且EG∥B1B,∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角,
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°．
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA1中,因F为A1A的中点,故A1E∥FP．
而FP⊂平面B1FC,A1E⊂平面B1FC,所以A1E∥平面B1FC．
（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中,由于AC=AB,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A,
则△A1AC≌△A1AB,故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵A1H⊥平面ABC,∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O,则O∈A1H,且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中,A1O=．
故所求球的半径R=a,球的体积V=πR3πa3．

1年前他留下的回答

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