已知椭圆的焦点是F1（-4,0）,F2（4,0）,过点F2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B

已知椭圆的焦点是F1（-4,0）,F2（4,0）,过点F2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A（x1,y1）,C（x2,y2）满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列（1）求弦AC中点的横坐标,（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围 ll荷茜 1年前他留下的回答 已收到1个回答

天籁之音 网友

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解 (1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3
故椭圆方程为(x^2/25)+(y^2/9)=1
(2)由点B(4,yB)在椭圆上,得∣F2B∣=∣yB∣=9/5
因为椭圆的右准线方程为x=25/4,率心率为4/5.
根据椭圆意义,有∣F2A∣=4/5(25/4-x1),
∣F2C∣4/5(25/4-x2),
由∣F2A∣、∣F2B∣、∣F2C∣成等差数列,得4/5(25/4-x1)+4/5(25/4-x2)=2×9/5,由此得出x1+x2=8
设弦AC的中点为P(xo,yo),则xo=(x1+x2)/2=8/2=4
(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上,得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤,
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo,代入上式,得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0,由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4,yo)在弦AC的垂直平分线上,得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4,yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称,如图)的内部,得-(9/5)＜yo＜9/5,
所以：-(16/5)＜m＜16/5.

1年前他留下的回答

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