同济微积分课后习题问题设函数f(x)在点x.处有连续的二阶导数,证明：lim[f(x.+h)+f(x.-h)-2f(x.

同济微积分课后习题问题
设函数f(x)在点x.处有连续的二阶导数,证明：
lim[f(x.+h)+f(x.-h)-2f(x.)]/h^2=f''(x.)
因为我知道怎么下手做,但是在解答过程中有些极限问题暴露出来不太清楚,对照自己的找一下毛病.
我一直做到最后一步得出答案为f''(x-h)就郁闷了半天，是不是直接f''(x-h)=f''(x)? yaxitaily 1年前他留下的回答 已收到2个回答

3303291984 网友

该名网友总共回答了25个问题，此问答他的回答如下：采纳率：88%

首先纠正：
“问题补充：我一直做到最后一步得出答案为f''(x-h)就郁闷了半天,是不是直接f''(x-h)=f''(x)?”中f''(x-h)是不存在的.函数在一个点上的导数里面是不会出现增量“h”的!
“sunshine王耀
lim[f(x)-f(x-h)]/h=?按照导数的定义应该为
lim[f(x)-f(x-h)]/h=lim[f(x-h)-f(x)]/-h
说明增量为-h,于是
lim[f(x)-f(x-h)]/h=lim[f(x-h)-f(x)]/-h=f'(x)
上式中的“-h”与导数定义“lim[f(x+h)-f(x)]/h”中的“h”实质上是一致的.
此题出现在教材第三章,而不是出现在第二章,这就让我们想到可能不能用第二章的知识来解!
正确解法：应用罗比达法则
lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2 满足罗比达法则：分子、分母都趋于0.
于是lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2
=lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]’ /（h^2）’ = lim[f’(x+h)+f’(x-h))-2f’(x）] /2h
=(1/2) {lim[f’(x+h)-f‘(x)]/h-lim[f’(x)-f’(x-h)]/h}
=(1/2){ lim[f’(x+h)-f‘(x)]/h+lim[f’(x-h)-f’(x)]/-h}
=(1/2) {f”(x)+ f”(x)}= f”(x)
注意：
lim[f’(x-h)-f(x)]/-h在运算时又用到了：“-h”与导数定义“lim[f(x+h)-f(x)]/h”中的“h”实质上是一致的这一条.
数学这东西,理解实质很关键.有些貌似相同的东西,其实与我们看到的不同；而貌似不同的东西却跟定义是一致的,跟真理是一致的!
声明：本人对“sunshine王耀 ”的解法提出异议,并无恶意,旨在探讨真理,尊重科学.相互学习吗,就得有争议,真理越辩越明!
你很用心,祝你学习愉快.

1年前他留下的回答

5

falv123 网友

该名网友总共回答了4个问题，此问答他的回答如下：

补充：是的，注意二阶导数的定义！！！ 因为h是一个很小的数，而导数的范围是x的领域（x-h,x+h）
lim[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2
=lim{[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)]}/h^2
=lim{[f(x+h)-f(x)]/h-[f(x)-f(x-h)]/h}/h
={lim[f(x+h)-f(x)]/h-li...

1年前他留下的回答

0 [db:内容2]

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