数学蝴蝶定理我的卷子上有格蝴蝶定理麻烦给讲讲

junang 1年前他留下的回答 已收到1个回答

k4e6mmx 网友

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蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
　　出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.
　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.
　　∵△AMD∽△CMB
　　∴AM/CM=AD/BC
　　∵SD=1/2AD,BT=1/2BC
　　∴AM/CM=AS/CT
　　又∵∠A=∠C
　　∴△AMS∽△CMT
　　∴∠MSX=∠MTY
　　∵∠OMX=∠OSX=90°
　　∴∠OMX+∠OSX=180°
　　∴O,S,X,M四点共圆
　　同理,O,T,Y,M四点共圆
　　∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
　　∴∠MOX=∠MOY ,
　　∵OM⊥PQ
　　∴XM=YM
　　这个定理在椭圆中也成立,如图
　　１,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.
　　（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；
　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3,y3）,Ｈ（x4,y4）（y４＞０）.
　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
　　求证： | OP | = | OQ |.
　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
　　2．北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
　　（Ⅰ）椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
　　焦点坐标为
　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
　　整理,得
　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
　　根据韦达定理,得
　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),
　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得
　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
　　由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
　　所以结论成立.
　　（Ⅲ）证明：设点P（p,o）,点Q（q,o）.
　　由C,P,H共线,得
　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　由D,Q,G共线,同理可得
　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：
　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
　　所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.

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