正三棱锥的高为1,底面边长为2倍开根号6,其中有一个球和该三棱锥四个面都相切,求棱锥的全面积和球半径R

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正棱锥,4个面均为正三角形
设底面边长为a=2√6,高为h=4,内切球半径为r
则底面积为S底=√3/4*a^2=√3/4*(2√6)^2=6√3
S全=4S底=4*6√3=24√3
顶点在底面的投影通过底面三角形的重心
底面的高为H=√3/2*a=√3/2*2√6=3√2
则侧棱在底面的投影长度为l=2/3*H=2√2
内切球与各面相切,由正棱锥的对称性及勾股定理,有
(h-r)^2=r^2+l^2
r=(h^2-I^2)/(2h)
=[4^2-(2√2)^2]/(2*4)
=8/8
=1
即内切球的半径为1
（依据底边长2√6计算,正棱锥高为4）

1年前他留下的回答

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