已知集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=[a/x]-1+lnx，∃x0＞0

已知集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=[a/x]-1+lnx，∃x₀＞0，使f（x₀）≤0成立}，则A∩B=（　　）
A. {x|x＜[1/2]}
B. {x|x≤[1/2]或x=1}
C. {x|x＜[1/2]或x=1}
D. {x|x＜[1/2]或x≥1} webyoung 1年前他留下的回答 已收到1个回答

xinzaipiao0906 网友

该名网友总共回答了16个问题，此问答他的回答如下：采纳率：100%

解题思路：解分式不等式求出集合A，根据集合B可得a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解．利用导数求得h（x）=x-xlnx的值域为（-∞，1]，要使不等式a≤xlnx 在（0，+∞）上有解，
只要a小于或等于h（x）的最大值即可，即a≤1 成立，故B={a|a≤1}，由此求得A∩B．

集合A={x∈R|[x+1/2x−1]≤2}={x|[3−3x/2x−1≤0}={x|
x−1
2x−1 ≥0 }={x|（x-1）（2x-1）≥0，且2x-1≠0}
={x|x＜
1
2]，或 x≥1}．
由集合B 可知f（x）的定义域为{x|x＞0}，不等式[a/x]-1+lnx≤0有解，
即不等式a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解．
令h（x）=x-xlnx，可得h′（x）=1-（lnx+1）=-lnx，令h′（x）=0，可得 x=1．
再由当0＜x＜1 时，h′（x）＞0，当x＞1 时，h′（x）＜0，可得当x=1时，h（x）=x-xlnx 取得最大值为 1．
要使不等式a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解，只要a小于或等于h（x）的最大值即可．
即a≤1 成立，所以集合B={a|a≤1}．
所以A∩B={x|x＜[1/2]，或 x=1}．
故选C．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；交集及其运算．

考点点评： 本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．

1年前他留下的回答

9 [db:内容2]

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