高中数学,圆锥曲线.以过抛物线焦点的两条弦AB,CD为直径作圆,证明这两个圆的公共弦过原点.

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boyyu 春芽

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记A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),则以AB、CD为直径的圆分别为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (x-x3)(x-x4)+(y-y3)(y-y4)=0 两式相减,即得两圆公共弦方程 (x3+x4-x1-x2)x+(y3+y4-y1-y2)y+(x1x2+y1y2-x3x4-y3y4)=0 而AB过焦点,故由直线方程y=k(x-p/2)和抛物线方程y^2=2px联立得 k^2(x-p/2)^2=2px 得x1x2=(1/4)p^2 x1+x2=p+2p/k^2 所以y1y2=k(x1-p/2)k(x2-p/2)=k^2(x1x2-p/2(x1+x2)+p^2/4)=-p^2 同理,y3y4=-p^2,x3x4=(1/4)p^2 ∴x1x2+y1y2-x3x4-y3y4=0 ∴上述公共弦方程为(x3+x4-x1-x2)x+(y3+y4-y1-y2)y=0,x3+x4-x1-x2与y3+y4-y1-y2都是常数

1年前他留下的回答

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