设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=[1/2]，an=

设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=[1/2]，a_n=f（n），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（　　）
A. [1/2]≤S_n＜2
B. [1/2]≤S_n≤2
C. [1/2]≤S_n≤1
D. [1/2]≤S_n＜1 maoxinghang 1年前他留下的回答 已收到1个回答

huangyewu 网友

该名网友总共回答了28个问题，此问答他的回答如下：采纳率：71.4%

解题思路：根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a_n}是以[1/2]为首项，以[1/2]的等比数列，进而可以求得S_n，进而S_n的取值范围．

∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即
an+1
an=
f(n+1)
f(n)=f（1）=[1/2]，
∴数列{a_n}是以[1/2]为首项，以[1/2]的等比数列，
∴a_n=f（n）=（[1/2]）ⁿ，
∴S_n=

1
2(1−
1
2n)
1−
1
2=1-（[1/2]）ⁿ∈[[1/2]，1）．
故选D．

点评：
本题考点： 等比关系的确定；抽象函数及其应用；数列的函数特性．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．

1年前他留下的回答

8 [db:内容2]

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