已知a，b，c，d都是实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．

宇少的手套 1年前他留下的回答 已收到1个回答

虢髁_ww 网友

该名网友总共回答了15个问题，此问答他的回答如下：采纳率：86.7%

解题思路：证法1：（分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），需证其充分条件成立，直到所证关系式显然成立，从而可知原结论成立；
证法2：（综合法）a²d²+b²c²≥2abcd，利用重要不等式可得（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²），从而证得结论成立；
证法3：（作差法）易证（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（b²c²-a²d²）²≥0，从而可知结论成立．

证法1：（分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）成立，
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² 成立，
即证：2abcd≤a²d²+b²c² 成立，
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²成立，
上式明显成立．
故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．
证法2：（综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式），
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²）．
证法3：（作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）
=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）
=b²c²+a²d²-2abcd=（b²c²-a²d²）²≥0，
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

点评：
本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 本题考查不等式的证明，着重考查分析法、综合法、作差法的应用，考查推理证明能力，属于中档题．

1年前他留下的回答

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