已知函数f（x）=loga（a-ax）（a＞1）

已知函数f（x）=log_a（a-a^x）（a＞1）
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）判断f（x）的单调性，并证明． czc333 1年前他留下的回答 已收到1个回答

lzg20 网友

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解题思路：（1）由题得：a-a^x＞0，由a＞1并且结合指数函数的性质可得：x＜1，由0＜a-a^x＜a，并且a＞1，由对数函数的性质得到log_a（a-a^x）＜1，进而得到函数的定义域与值域．
（2）减函数．由函数的解析式可得：f′（x）=

−ax

a−ax

，再结合题中的条件得到函数的导数小于0，进而根据导数的意义得到函数的单调性．

（1）由题意可得：a-a^x＞0，即a^x＜a，
∵a＞1，
∴由指数函数的性质可得：x＜1，
∴函数f（x）的定义域为：（-∞，1）．
∵0＜a-a^x＜a，并且a＞1，
∴log_a（a-a^x）＜1，
∴函数f（x）的值域为：（-∞，1）．
（2）减函数．
证明：∵函数f（x）=log_a（a-a^x），
∴f′（x）=
−ax
a−ax，
∵a-a^x＞0，-a^x＜0，
∴f′（x）=
−ax
a−ax＜0，
∴f（x）在定义域内是单调减函数．

点评：
本题考点： 对数函数的定义域；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查指数函数、对数函数、复合函数的性质，如函数的定义域，值域，单调性，而证明函数的单调性可以利用单调性的定义或者利用导数的意义，此题是考试命题的热点之一．

1年前他留下的回答

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