数列极限的几种求法

张孟霞+张亚辉+贺振宇+姜广溢+蒋帅帅+赵哲

摘 要：数列极限理论是微积分的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分，定积分、二重积分、三重积分、线面积分的定义都是用数列极限定义的。数列极限的求法主要有：定义法、初等变形法、归结原则、夹逼准则、单调有界法、利用两个重要极限计算、施笃兹公式法、泰勒展开式法、定积分定义法、利用微分或积分中值定理计算、级数收敛的必要条件和求级数和函数法。

关键词：数列极限；求极限方法

一、 初等变换法

用变量代换、恒等变形法将极限化简，再由极限的四則运算、复合运算求出极限。

二、 归结原则

归结原则：设f在U0（x0；δ）内有定义，limx→x0f（x）存在的充要条件是：对任何含于

三、 利用极限存在的两个原理

1. 夹逼原理：

2. 单调有界原理：

单调递增（减）有上（下）界的数列必定收敛。

解：由题可知xn+1=11+xn.数列{xn}的前几项为：1，12，23，35，58，813，…，可以看出整

个数列不是单调的，但奇子数列{x2n-1}单调递增，偶子数列{x2n}单调递减。下面我们证明{x2n-1}单调递增，

{x2n}单调递减，

四、 利用两个重要极限

五、 利用施笃兹公式

六、 利用微分或积分中值定理

拉格朗日中值定理：若f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

积分中值定理：f（x）在[a，b]上连续，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

七、 利用泰勒公式

八、 利用定积分的定义

九、 利用级数收敛的必要条件以及级数的和函数

因此，所求极限为s（1）=78.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编，《数学分析》第四版，高等教育出版社.

[2]同济大学数学系编，《高等数学》第七版，高等教育出版社.

作者简介：张孟霞，张亚辉，贺振宇，姜广溢，蒋帅帅，赵哲，中国矿业大学（北京）。

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